بچه ها و مشکلات ریاضی

بچه ها و مشکلات ریاضی

شاید خیلی شندیده باشید که اکثر بچه ها و حتی بزرگتر ها ریاضی را قول بی شاخ و دمی فرض می کنند و خود را عاجز در برابر حل  مسائل مختلف ریاضی می دانند . بچه ها زمانی که با یک مسئله ریاضی روبه رو می شوند ، بدون توجه به مسئله دوست دارند ، فوری آنرا حل کنند که این کار تقریباً غیر ممکن است ، و چون نمی توانند این کار را انجام دهند و از حافظه خود برای حل مسائل ریاضی استفاده کنند ، اغلب چنین افکاری به سرشان می زند ، اما واقعیات بسیار متفاوت تر از آن چیزی است که این افراد می پندارند ؛ مشکلات ریاضی افراد مخصوصاً دانش آموزان به این دلیل است که افرادی که می خواهند ریاضی مطالعه کنند یا مسائل مختلف ریاضی را حل کنند ، به این نکته مهم توجه نمی کنند که ریاضیات علمی است که نیاز به تفکر ، اندیشه و استدلال دارد ، درواقع برای حل یک مسئله ریاضی باید از تفکر و اندیشه خود استفاده کنیم ، چون ریاضیات علمی منطقی است باید در کنار اندیشیدن قوه استدلال خود را نیز به کار ببریم ،اکنون برای بسیاری سوال پیش می آید که برای حل یک مسئله ریاضی چه کارهایی باید انجام دهیم ؟

در پاسخ این دوستان باید بگویم که دوستان فرایند حل مسئله در ریاضیات امری است که به خود فرد وابسته است و هر فرد دارای یک روش خواصی برای حل مسائل ریاضی خود دارد ، اما به طور کلی فرایند حل مسئله در ریاضیات با توجه به تجارب ریاضیدانان بزرگ و مسئله حل کن های ریاضی حرفه ای به شرح زیر است :

اول خواندن  دقیق مسئله و سپس فهمیدن و درک کردن مسئله ، پس از این دو مرحله تفکر و اندیشیدن درباره مسئله و پیدا کردن راه حل مسئله و سپس مهمترین بخش فرایند حل مسئله استدلال کردن و استنتاج کردن راه حل های ارائه شده پس از تفکر و اندیشیدن است که نهایتاً منجر به حل مسئله می شود . یادتان باشد که مراحل ذکر شده بسیار مهم و وابسته به هم هستند که باید به ترتیب رعایت شوند و اگر هر مرحله به خوبی انجام نشود ممکن است در سایر مراحل نقص ایجاد کند و یا اصلا مسئله حل نمی شود یا به جواب غلط می رسیم .

توجه کنید که مرحله اول یعنی خواندن مسئله بسیار مهم است ، چون این مرحله باعث می شود که ما مسئله را بفهمیم و درک کنیم که همان مرحله دوم در فرایند حل مسئله ریاضی است . محققان یکی از علل ضعف دانش آموزان ابتدائی در ریاضیات را خوب نفهمیدن مسئله می دانند که حاصل خوب نخواندن مسئله است .

پس از این به بعد سعی کنید همیشه مسئله را خوب بخوانید تا بتوانید مسئله هایتان را خودتان حل کنید ، چون خوب خواند مسئله گام اول در فرایند حل مسئله است و اگر این فرایند به خوبی انجام نگیرد ، به سایر مراحل نیز نقص وارد می شود ، این مورد در ضرب المثل معروف نیز دیده می شود که می گوید " چو خشت اول نهاد معمار کج    تا ثریا رود دیوار کج "

همانطور که گفتیم مرحله دوم درک و فهمیدن مسئله است ، کسی که خوب مسئله را خوانده باشد ، می تواند مسئله را درک نماید : فرایند درک مسئله خود یعنی اینکه بفهیم که مسئله از ما چه می خواهد ؛ داده های مسئله چیست ، پس از اینکه فهمیدیم مسئله چه داده هایی به ما داده است و با توجه به این دادها از ما چه می خواهد ، همان فرایند درک مسئله است .

مرحله بعد تفکر و اندیشیدن درباره راه حل های مسئله است ، در این مرحله باید بیندیشیم که با توجه به فرض و داده های مسئله و اصول و قضایای قبلی ریاضیات بتوانیم خواسته های مسئله را برآورده نماییم .

مرحله بعدی دلیل آوردن بر درستی یا نادرستی راه حل های ارائه شده توسط خودمان است ، که این مرحله مهم ترین مرحله فرایند حل مسئله است که معمولاً  تحت عنوان استدلال و استنتاج شناخته می شوند . در این مرحـله خودمان متهم و قاضی هستیم ، هر ادعایی که داریـم باید دلیل محکمی برای درست بودن آن ارائه دهـیم ، که این کار بعث می شود قوه استدلال خودمان را پرورش دهیم .

البته بعضی ها می گویـند که ما این کارها را هم کردیـم اما مسئـله حل کن حرفه ای نشدیم ، که در پاسـخ آنـها می گویم با تلاش و پشتکار و صبر و حوصله و از همه مهم تر کوشش برای حل مسائل مختلف و خسته و ناامید نشدن باعث می شود که ما به این درجه از حرفه ای بودن برسیم که مسائل ریاضی را خودمان به تنهایی حل کنیم .

البته این موضوع را نیز یاد آور می شویم که انتظار نداشته باشید که هـمان روز های اول به موفقیت های زیادی برسید ، بلکه با گذشت زمان و تلاش و صبر ، شما به یک مسئله حل کن حرفه ای تبدیل خواهید شد .

گرافها

اکثر علاقمندان به ریاضی می دانند که نظریه گرافها چه جایگاه مهمی در ریاضیات و سایر علوم دارد ، در اینـجا می خواهیم به کاربرد جالب نظریه گرافها در علم شیمی بپردازیم ، البته کسانی که برای اولین بار کلمه  نظریه گرافها  به گوشـشان می خورد بهتر است به کتاب ریاضیات گسسته پیش دانشگاهی رشته علوم ریاضی مراجعه نمایند .

کیلی در سال 1785 میلادی هنگامی که تعداد درختهای ریشه دار  را با تعداد راسس داده شده را محاسبه کرد ؛ قدیمی ترین کاربرد نظریه گراف در شیمی را یافت . یک مولکول شیمیایی را می توان با یک گراف با در نظر گیری هر مولکول به عنوان یک راس و ساختن یالهای گراف به نحوی که بند اتمی را بین پایان اتم ها نمایش دهد ، نشان داد .بنابر این درجه ی هر راسچنین گرافی ظرفیت اتم متناظر را به دست می دهد . مولکول هایی که فرمول شیمیایی یکسان اما خواص متفاوت دارند را ایزومر می نامیم . برحسب گراف ها ، ایزومرها ود گراف غیر یکریخت با دنباله ی درجه یکسان هستند .

پارافین ها دارای فرمول مولکولی  هستند . آنها دارای  اتم (راس) هستند و  اتم آنها کربن و  اتم باقی مانده هیدروژن هستند . آنها همگی دارای  بند (یال) هستند . کیلی با استفاده از روش های شمارشی در نظریه ی گراف ها تعداد ایزومرهای  شمارش کرد . فرمول او نشان می دهد که پارافین  ، دارای 802 ایزومر متفاوت است .

هندسه فرکتالها

اکثر نظام‌های عینی طبیعت و بسیاری از مصنوعات بشری در چارچوب اشکال هندسی منتظم و یکدست هندسه اقلیدسی نمی‌گنجند.

هندسه اقلیدسی با همه معیارهایش در برابر تعریف نظام‌های طبیعی و مصنوعی جهان حرفی برای گفتن ندارد، اما از آن طرف هندسه فراکتالی راه‌های تقریبا نامحدودی را برای توصیف، اندازه‌گیری و پیش‌بینی پدیده‌های طبیعی در آستین دارد.

فراکتال‌ها در بسیاری از ساختارهای طبیعی مثل برف‌دانه‌ها، کوه‌ها، ابرها، ریشه، تنه و برگ درختان، رویش بلورها در سنگ‌های آذرین، شبکه آبراه‌ها و رودخانه‌ها، رسوبگذاری الکتروشیمیایی، رویش توده باکتری‌ها و سیستم عروق خونی، DNA و... دیده می‌شوند و با آنها می‌توان پدیده‌های طبیعی بسیاری را تشریح، تفسیر و پیش‌بینی کرد. بسیاری از عناصر مصنوع دست بشر نظیر تراشه‌های سیلیکونی، منحنی نوسانات بازار بورس، رشد و گسترش شهرها نیز از قوانین فراکتالی پیروی می‌کنند. این شکل‌های هندسی زیبا به واسطه سازگاری پویا و جاذبه غریبی که در ارتباط میان خود و محیط پیرامونشان ایجاد می‌کنند از نوعی نظم دقیق در عین بی‌نظمی برخوردارند و پتانسیل شگفت‌آوری را برای عوض کردن دیدگاه و تفسیر ما از پدیده‌های عالم و نقش بنیادی ریاضیات برای توصیف و توضیح جهان در خود نهفته دارند. هندسه فراکتال، مرزهای درک و استنباط بشر از ریاضیات را که به عنوان کالبدی از فرمول‌های پیچیده و ملال‌آور در اذهان تعریف شده است، فراتر می‌برد و با تلفیق هنر و ریاضیات بوضوح نشان می‌دهد معادلات ریاضی چیزی بیشتر از مجموعه‌ای از اعداد هستند. شاید سودمندی مفاهیم ریاضی برای ایفای چنین نقش مهمی، موهبت خدادادی بی‌نظیری است که آنچنان که شایسته بوده درکش نکرده‌ایم. آیا با این اوصاف، تعریف کردن کل جهان با استفاده از معادلات ریاضی امکان‌پذیر است؟

هندسه بعد چهارم یا هندسه طبیعی بنوا مندل‌برو (1389‌‌ـ‌1303) پدر هندسه فراکتالی، مبدع واژه فراکتال و کاشف مجموعه مندل‌برو است که تقریبا مادر تمام فراکتال‌ها محسوب می‌شود. مندل‌برو در نوجوانی، آموزش و تعلیمات رسمی‌ منظمی‌کسب نکرد و به گفته خودش هیچ‌گاه نتوانست الفبا و جدول ضرب را درست و حسابی فرا بگیرد، اما در عین حال در برخی حوزه‌های زبان‌شناسی، نظریه بازی‌ها و احتمالات، دانش هوانوردی ، مهندسی ، علم اقتصاد، فیزیولوژی، جغرافیا، نجوم و صد البته فیزیک کارشناس و خبره بود.مندل برو از دانش پژوهان مشتاق تاریخ علم نیز بود و از همه مهم‌تر جزو نخستین ریاضیدانان جهان به لحاظ دسترسی به رایانه‌های پر سرعت محسوب می‌شود.بنوا مندل‌برو کشفیات بزرگ خود را با سرپیچی و تمرد از قدرت حاکم زمانه یا همان ریاضیات آکادمیک صورت داد. در گذشته، علوم و ریاضیات بر محور نظام‌های محدودی در سه بعد نخست یا همان خط، سطح و فضا دور می‌زدند که ظاهرا با جهان واقعی و مختصاتش که بعد چهارم گفته می‌شد میانه‌ای نداشتند.در حقیقت ما در بعد چهارم یا پیوستار فضا زمان زندگی می‌کنیم. گرچه از زمان اینشتین به بعد بود که فهمیدیم حتی بعد سوم واقعا وجود ندارد و تنها مدلی برای واقعیت می‌تواند باشد، اما پس از مندل‌برو بود که تازه متوجه شدیم بعد چهارم واقعا چیست و چگونه به نظر می‌رسد و از چهره فراکتالی آشوب و بی‌نظمی‌ باخبر شدیم؛ کسی که چهره اصلی نظریه‌پردازی آشوب در زمانه ما محسوب می‌شود.تحقیقات مندل‌برو نهایتا به دستاورد بزرگی منجر شد که در یک فرمول ساده ریاضی خلاصه می‌شود. این فرمول که امروز به افتخار نام مخترعش مجموعه مندل‌برو نامیده می‌شود و برخی آن را بزرگ‌ترین کشف ریاضیات قرن بیستم می‌دانند یک حساب دینامیک و پویا بر اساس تکرار اعداد مرکب با صفر به عنوان نقطه شروع است.

فرمول مندل‌برو خلاصه‌ای از درک و بینش‌های بسیاری است که مندل‌برو از هندسه فراکتال طبیعت یا همان جهان واقعی بعد چهارم به دست آورده است. فرمول مندل‌برو در تضاد آشکار با جهان آرمانی اشکال اقلیدسی بعدهای اول تا سوم است که دغدغه خاطر تقریبا تمامی ‌ریاضیدانان پیش از مندل‌برو بوده است.

در جایی که هندسه اقلیدسی پیرامون کمال مطلق تقریبا ناموجودی در طبیعت دور می‌زد و سعی داشت همه اشیا و مظاهر طبیعی را از دریچه تنگ نظم و ترتیب مجسم کند و قاعدتا از توصیف واقعی شکل یک ابر، کوه، خط ساحلی یا حتی یک درخت ناتوان بود.

مندل‌برو در کتاب هندسه فراکتال طبیعت (1362) خود می‌گوید: «ابرها کروی نیستند، کوه‌ها مخروط نیستند، خطوط ساحلی مدور نیستند، پوست درخت صاف نیست و رعد و برق نیز خط سیر مستقیمی‌ ندارد.»

پیش از مندل‌برو، ریاضیدانان بر این باور بودند که پیچیدگی، بی‌قاعدگی، بخش بخش شدگی و بی‌نظمی ‌اکثر الگوهای طبیعت فراتر از آن است که بتوانند به لحاظ ریاضیاتی توصیف و تبیین شوند. اما مندل‌برو، هندسه فراکتالی جدیدی از طبیعت را بر اساس بعد چهارم و اعداد مرکب درک و توسعه بخشید که قادر به توصیف ریاضیات بی‌نظم‌ترین اشکال جهان واقعی است.

به گفته خودش هندسه فراکتالی صرفا فصلی از کتاب ریاضیات نیست، بلکه موهبتی از دانش ریاضیات است که امکان مشاهده متفاوت یک جهان را برای همگان فراهم می‌آورد.

مندل‌برو ثابت کرد بعد چهارم شامل ابعاد کسری می‌شود که بین سه بعد نخست قرار دارد و این مفهوم ابعاد بینابینی یا حد فاصل ابعاد را بعدهای فراکتالی نامید.

وی واژه فراکتال را بر اساس صفت لاتین فرکتوس نامگذاری کرد که با فعل لاتین فرنجر به معنی شکستن و خرد کردن متناظر بود و مفهوم ایجاد بخش‌های نامنظم و نامرتب را تداعی می‌کرد.

مندل‌برو به لحاظ ریاضیاتی و گرافیکی نشان داده است طبیعت برای ایجاد اشکال مختلط و بی‌نظم و قاعده جهان واقعی چگونه از بعدهای فراکتال استفاده می‌کند. یک فراکتال به عنوان فرمی ‌هندسی دارای اشکال نامنظم است، اما در بطن این تصاویر بی‌قاعده و نامنظم، نظمی ‌پنهان وجود دارد.

این نظم پنهان در بی‌نظمی‌ در اصل تکرار پشت سر هم نسخه‌های شبیه به هم از شکل کلی است که ظاهرا به چشم نمی‌آید، ولی زمانی که بخش کوچکی از یک شکل نامنظم کلی همانند کوه را از نزدیک مشاهده می‌کنیم، با نسخه تکرار شده مشابهی از شکل کلی کوه در مقیاس کوچک‌تر مواجه می‌شویم و هر چه نزدیک‌تر شویم باز هم همان شکل را در مقیاسی خردتر می‌بینیم و این تسلسل تا بی‌نهایت می‌تواند ادامه داشته باشد.

می‌توان در هر جایی از طبیعت یا در واقع دنیای زیگزاگ طبیعت فراکتال‌ها و خود تشابهی را با هر مقیاسی سراغ گرفت. این واقعیت زیبا در هر برف دانه، هر خدنگ رعد وبرق، هر درخت، هر شاخه و حتی در دستگاه گردش خون با رگ‌هایش و خلاصه از صدف دریا گرفته تا کهکشان‌های مارپیچ به چشم می‌خورند.فرش قرمز دانش برای هندسه فراکتالی

امروز به لطف مندل‌برو و نظریه معاصر بی‌نظمی، ما به درکی ریاضیاتی از برخی فعالیت‌های تاکنون مخفی و رازآلود طبیعت نائل شده‌ایم. ما برای نخستین بار فهمیده‌ایم که چرا دو درخت نزدیک به یکدیگر در جنگل که در یک زمان و از یک خاک و از یک خانواده با ژن‌های یکسان در حال رشد و نمو هستند، هر کدام به شکلی منحصر به فرد از کار درخواهند آمد. درست همانند هر برف دانه‌ای که از یک ابر و در یک زمان و تحت شرایط یکسانی تشکیل شده و فرود می‌آیند، ولی باز هم هر کدام از آنها بی‌مانند و یگانه هستند و با بقیه برف دانه‌ها فرق دارند. چنین حالتی تنها به واسطه خصلت بی‌نهایتی که در بعدها و تأثیر متقابل تصادف و احتمال یا همان بی‌نظمی‌غیر قابل پیش‌بینی وجود دارد، امکان‌پذیر می‌شود. هندسه فراکتالی بر بسیاری از حوزه‌های علوم مانند اخترفیزیک و علوم‌زیستی سایه افکنده و به یکی از مهم‌ترین تکنیک‌های دانش گرافیک رایانه بدل شده است.

فراکتال‌ها در اختر فیزیک

هیچ‌کس واقعا نمی‌داند چند ستاره در آسمان شب چشمک می‌زند، ولی نحوه شکل‌گیری و قرارگیری آنها در عالم همواره مایه حیرت و شگفتی بوده است. اختر فیزیکدانان بر این باورند که ماهیت فراکتالی گاز میان ستاره‌ای کلید راهنمای این مسأله باشد. فراکتال پخش و انتشار گازها به صورت سلسله مراتبی است که نظیر آن در خزیدن‌های دود در هوا یا موج خوردن ابرها در آسمان دیده می‌شود. اشکال آشفتگی ابرها در آسمان و در فضا الگویی نامنظم، اما تکرار شونده به آنها می‌بخشد که توصیفش بدون کمک گرفتن از هندسه فراکتالی غیرممکن خواهد بود.

فراکتال‌ها در علوم زیستی

مدلسازی طبیعت با استفاده از بازنمایی‌های هندسه اقلیدسی که ضربان خون را به صورت موج سینوسی، درختان سوزنی برگ را به صورت مخروط و غشای سلولی را به صورت منحنی و سطوح صاف و ساده به نمایش می‌گذاشت، تغییر خواهد کرد. نمونه‌های بارزی از اشکال فراکتالی را می‌توان در بدن انسان یافت. شناخته شده‌ترین مثال فراکتال بدن مجموعه رگ‌ها و شریان‌های دستگاه گردش خون پستانداران و انسان است. ساختار نایژه‌ای شش‌های انسان از جمله فراکتال‌های زیبا و مثال‌زدنی زنده محسوب می‌شود که ویژگی خودمتشابهی و ایجاد نسخه‌های مکرر خردتر از نمونه کل را تا بیش از 15 انشعاب مسلسل و پی در پی به نمایش می‌گذارند. کشفیات تازه در حوزه تحقیقات مغز به وجود یک ساختار فراکتالی مبتنی بر شش ضلعی‌ها اشاره دارد که ممکن است در نحوه سازماندهی میدان‌های گیرندگی بصری بخش قشری مغز نقش داشته باشد. دانشمندان کشف کرده‌اند معماری پایه یک کروموزم ساختاری درختی دارد و هر کروموزم شامل میکروکروموزم‌های بسیاری می‌شود که می‌توان با تئوری فراکتال آن را توضیح داد. از طرفی ویژگی خودمتشابهی ذاتی فراکتال‌ها در توالی‌های DNA نیز مشخص شده است. به عقیده برخی زیست‌شناسان، از شناسایی خصوصیات فراکتالی دی.ان.ای می‌توان برای حل روابط تکاملی جانوران استفاده کرد. دانش زیست‌شناسی ممکن است در آینده برای ارائه مدل‌های جامعی از الگوها و فرآیندهای مشاهده شده در طبیعت از هندسه فراکتال استفاده کند.

فراکتال‌ها در گرافیک رایانه‌ای

وسیع‌ترین دامنه کاربرد فراکتال‌ها در زندگی روزمره در علوم رایانه است. بسیاری از طرح‌های فشرده‌سازی تصویری از الگوریتم‌های فراکتال استفاده می‌کنند. هنرمندان گرافیک رایانه‌ای برای خلق مناظر بافت‌دار و دیگر مدل‌های پیچیده و پر طول و تفصیل از فرم‌های فراکتال زیادی استفاده می‌کنند. ایجاد انواع تصاویر واقع نمایانه از سکانس‌های طبیعت نظیر تصاویری از ماه، رشته کوه‌ها و خطوط ساحلی که در بسیاری از جلوه‌های ویژه سینمایی دیده می‌شوند به لطف همین الگوریتم‌های فراکتالی امکان پذیر هستند.

و اما حرف آخر

دانشمندان دریافته‌اند هندسه فراکتال ابزار قدرتمندی برای رازگشایی از طیف گسترده‌ای از نظام‌ها و حل‌کردن مشکلات مهم علوم کاربردی است.

نظام‌های فراکتالی عینی و ملموس جهان فهرست بلند بالایی دارند که بهسرعت در حال رشد است. فراکتال‌ها دقت ما در توصیف و طبقه‌بندی کردن اشیای تصادفی یا ارگانیک را بهبود بخشیده‌اند، اما ممکن است کامل و بی‌عیب نباشند. شاید فراکتال‌ها فقط به جهان ما نزدیک‌ترند و یکی عین آن نیستند. برخی دانشمندان هنوز بر این باورند که بی‌نظمی وجود دارد و هیچ معادله ریاضی آن را به طور کامل و بی‌نقص توصیف نخواهد کرد. شاید هم از نظر بسیاری، فراکتال‌ها چیز بیشتری از تصاویر زیبا عرضه نخواهند کرد، اما فراکتال‌ها و هندسه فراکتالی هر چه باشد منظره متفاوتی از واقعیت جهانی را که در آن زندگی می‌کنیم به نمایش گذاشته است.

فراکتال در دل طبیعت

نمایش آشکار الگوهای تکرار شونده مدل منحنی‌های فراکتالی موسوم به فراکتال برف‌دانه کخ

هندسه فراکتالی را در حیات وحش هم می‌توان دید. به عنوان مثال فراکتال پر زرق و برقی که طاووس برای جلب نظر جفت به کار می‌برد

مسیر حرکت آذرخش با شکل‌گیری مرحله به مرحله به سوی زمین و تبدیل هوا به پلاسما یک الگوی فراکتال آشکار است

غایت فراکتال سبزیجات، فراکتالی از نوع مارپیچ لگاریتمی‌ در کلم بروکلی که به مارپیچ طلایی معروف است

سرپاوران دریایی که 65 میلیون سال پیش منقرض شدند. الگوی رشد پوسته آنها مارپیچ لگاریتمی ‌است

این پهنه‌های پوشیده از نمک الگوی ثابت ولی تصادفی را که مشخصه‌های فراکتالی است به نمایش می‌گذارد

اعداد منفی

تاریخ اعداد منفی

مفهوم عددهای منفی بـه تقریب در سده اول پیش از میلاد ، به وسیله هندی ها پدید آمد ( آنها عدد منفی را ، یعنی عـددی کـه کمـتر از صفر بود ، ((وام یا قرض)) مـی نامیدند و مقدار مثبت را ((دارایی)) ). درواقع پول و ثروت نقش اصلی در پـدید آمدن این اعداد را دارند ، و داد و ستد تجار و بازاریان مردم قدیم هندوستان برای حساب امور مالی خود دست به کشف بسیار بزرگی در ریاضیات زدند ، که همان اعداد منفی بودند ، تا آن زمان مردم فقط با اعداد مثبت و صفر کار داشتند یا به طور کلی می توان گفت با اعداد حسابی ، دلیل اینـکه به این مجموعه اعداد ، اعداد حسابی گویند این است که در حساب امور مـالی مردم بیـشتر از این اعداد بـه کار مـی رفت ، اما با گذشت زمان و پیشرفت مردمان مفهوم وام یا قرض در میان مردمان نقش بست و ریاضیات نیز با مردمان هم عصـر خویش مسیر پیشرفت و تکامـل را می پیمود ، و همین موضوع باعث شکل گیری اعدادی شد که ما آنها را با نام اعداد منفی می شناسیم ، با کشف این اعداد ، مجموعه اعداد جدیدی با نام اعداد صحیح ، پیدا شد . با کشف این مجموعه اعداد گسترش دانش ریاضی بشر نیز پیشرفت کرد و منجر به حل مسائل مختلفی از ریاضیات و همچنین مسائل کوچه و بـازار مردمان آن زمان نیز شد .

برخی از ریاضیدانان ایرانی هم از این اصطلاح برای بیان عدد استفاده می کردند . ولی به طور کلی ، ریاضیدانان ایرانی تنها به جواب مثبت معادله توجه داشتند .

اما در اروپا ریـاضیدانان درباره این نوع اعداد افکار و نظرات متفاوتی داشتند ، ریاضیدانان اروپایی سده های شانزدهم و هفهدهم ، اغلب بـه جواب های منفی معادله بی توجه بودند ، به آنها اهمیت نمی دادند و آنها را جوابهای ((دروغ)) و ((بی معنا)) می دانستند (از جمله ، فرانسوا ویت ریاضیدان فرانسوی).

عـددهای منفی تنها وقتی مورد قبول عام قرار گرفتند که سرچشمه واقعی پیدا کردند ، ولی این سرچشمه به یکباره توسط دانشمندان کشف نشد ، و دانشمندان به مرور زمان به این سرچشمه واقعی آن پی بردند ، برای رسیدن به این مرحه ، دشواری ها و موانع بسیاری وجود داشت .

از جمله موانع مهم افکار جاهلانه کشیک های کلیسا و بزرگـان دینی بودند کـه با افکار جاهلانه خود مردم را عیله دانشمندان و ریاضیدانان آن زمان سوق می دادند و هر مفهوم جدید علمی که کشف می شد آن را شیطانی و نحس می نـامیـدند تا موقعیت و مقامی که در میان مردمان آن زمـان دارند را حفظ کنند ، و بر سلطه گری های خود نسبت به مردم جاهل را حفظ نمایند .

یکی از تفسیر مقدارهای مثبت و منفی را ، هندی ها یـافتند ، که بسیار هم طبیعی بود . آنها سرچشمه مقدارهای مثبت و منفی را در دارایی و قرض یافتند . آنها با آغاز از اینجا ، بـدون اینکه مطلب را از نظر علمـی تجـزیه و تحـلیل کرده باشنـد ، عمـل روی عددهای منفی را آغاز کردند . بـرای نمونه ، ((براهما گوپتا)) یکی از بزرگترین ریاضیدانان و اخترشناسان ، در کتاب اخترشناسی خود به نام ((بازبینی دستگاه های برهما)) که شامل بیست کتاب (که بخشی به حساب و بخشی به اختر شناسی اختصاص دارد) و در سال 628 میلادی نوشته شده است ، می گوید :

((مجموع دو دارایی ، یـک دارایی ، و مجموع دو قرض ، قرض است . مجموع دارای و قرض ، تفاضل آنها و اگر برابر باشند ، صفر است . مجموع صفر و دارایی ، دارایی و مجموع صفر و قرض ، قرض است . مجموع دو صفر ، برابر صفر است .))

سپس می گوید :

((وقتی کوچکتر را از بزرگتر کم کنیم ، از دارایی ، دارایی بـه دست می آید و از قرض ، قرض ؛ ولی اگر بزرگ را از کوچک کم کنیم ، از دارایی بـه قرض و از قرض به دارایی می رسیم . وقتی دارایی را از صفر کم کنیم ، قرض و وقتی قرض را از صفر کم کنیم ، دارایی به دست می آید . ))

یکی دیگر از ریاضیدانان و اخترشناسان هندی به نام بهاسکارا – آکاریا ( در 1114 میلادی زاده شده ، ولی تاریخ فوت این دانشمند فرزانه به طور دقیق معلوم نیست ) ، بیشتر توجه خود را روی عددهای منفی گذاشت . پسوند ((آکـاریا)) کـه به دنبال نام او آمده است ، معنای ((دانشمند)) و ((اندیشمند)) را میدهد . او به تقریب در سال 1150 میلادی ، کتابی بـه نام ((تاج دستگاه ها)) نوشت . پیش گفتار این کتاب ، شامل حساب ((لیلاواتی)) به معنای ((زیبا)) و ((محاسبه ریشه ها)) است . بهاسکارا در این کتاب می نویسد : ((حاصلضرب دو دارایی یا دو قرض برابر است با دارایی . نتیجه ضرب دارایی در قرض ، عبارت است از زیان . در تقسیم هم همین نتیجه به دست می آید . مربع دارایی یا قرض ، برابر دارایی است . دارایی دارای دو ریشه دوم است ؛ یکی دارایی است و دیگری قرض . ))

ریاضیدان ایتالیایی سده شانزدهم (پاچیولو ، تارتاگلیا و فـه رو) ، گرچه از قانون علامـت ها در عـمل استفاده می کردند ، ولی علامت منفی تنها بـه عنوان نماد تفریق در نظر می گرفتند ؛ نه به صورت عددهای منفی .

در بین اروپایی ها ، نخستین کسی که ریشه های مثبت معادله را در کنار ریشه های منفی آن به حساب آورد ، ((کاردان)) ریاضیدان اروپایی بود . او ریـشه های منفی را سـاختگی و بـدلی می نامید . او با این نام گذاری ، مـی خواست بگوید که ریشه های منفی قابل توجه نیستند .

ریاضیدانان آلمانی هم ، همزمـان با همکاران ایتالیایی خود در سـده شانزدهم ، استفاده از عددهای منفی را آغـاز کردنـد . برای نمونه ، ((شتیـفل)) در کتـاب ((حسـاب آلمـانی)) خـود ، با پیـروی از ((قـانون علامت ها)) ، در عمل های جبری ، بـه فراوانی از عددهای منفی استفاده می کند . شتیفل این مناسبت می نویسد :

(( ... عـمل های جبـری روی این عـددها ، درواقع منـجر به نتـیجه ای شگفت انگیزی می شود ... ما نـاچاریم از عددهای کمتر از صـفر یا کمتر از ((هیچ)) استفاده کنیم . ))

در کنار هواداران اعداد منـفی ، مخالفانی هم وجود داشـتند . از جمله این مخالفان (همان طور که پیش از این هم گفتیم) فرانسوا ویت بود که نه عددهای منفی را به رسمیت شناخت و نه در نوشته های خود به کار برد .

توجیه امروزی عددهای منفی ، بـه عنوان پاره خط های جهت دار ، سده هفدهم داده شد کـه بش از همه از نوشتارهای دو ریاضیدان دیـده می شود ؛ ((ژیرار)) ریاضیدان هلندی و دکارت ریـاضیدان و فیلسوف فرانسوی . امـروز از عـددهای منفی در رسم منحنی ها استفاده می شود . در ضمن ، عددهای مثبت و عـددهای منفی بـه وسیله یک نقطه از محور ، از یکدیـگر جـدا می شوند .

تاریخچه ریاضیات ( جبر )

جبر

جـبر به عنوان دانش حل معادله پدید آمد ، در مصر و بابل کهـن و همچنین در دورانهای جدیدتر در هند ، با مقدمه های جبـر آشنا بودند و بـا توجه به داده های مساله ، می توانستند معادله را تشکیل دهند و برخی گـونه های آنـرا حل کنند . البـته آنها از حرف بـرای نشان دادن داده ها و مجـهول ها آگـاهی نداشـتند و نمی توانستند معادلـه ها را به صورت کلی خود تنظیم کنند . در دوران ریاضیات کاربردی ، عنصر های جبری ، همچون ادامه دانش حساب تلقی می شد . با وجود این ، به ویژه بـابلی ها تـا مرز بالایی از جبر جلو رفته بودند ، و می توانستند مساله های عملی را که منجر بـه گونه هایی از معادله درجه دوم و در بعضی حالات ، درجه سوم و چهارم و بـالاتر شود ، را حل کنند . واژه جبر برای نخستین بار در سده نهم میلادی و در کـارهای محمد فرزند موسا مـشهور به خوارزمی مـجوسی ، برخورد مـی کنیم ، خوارزمی کتاب حساب جبر و مقابله را به تشکیل و حل معادله اختصاص داده است . او از شش نوع معادله صحبت می کند که یکی از آنها ، معادله درجه اول و پنج گونه دیگر درجه دوم هستند .کتاب خوارزمی همه چیز را با واژه بیان می کند و هیچ گونه نماد حرفی نـدارد اصطلاح های جـبر به معنای جبران کردن و مقـابله (مقابل هم قرار دادن) ، معرف دو عمل سـاده جـبری است ، به نحوی که هـمه جمله های سمت چپ و راست مـعادله ، مثبت یا با ضریب مثبت باشـند . واژه ((جبر)) به هـمان معنایی آمده است که در ایـن مصراع سعدی : (( کـه جبر خاطر مسکن بلا بگرداند)) و از نظر عمل های جبری ، به معنای انتقال جمله منفی بـه طرف دیگر معادله است تا مثبت شود .اصطلاح ((مقابله)) هم به معنای مقابل قرار دادن جمله ها در دو طرف برابری و حذف مقدارهای برابر از دو طرف است . بـه این ترتیب ((جبر و مقابله)) به معنای ساده کردن معادله و سـاده کردن جمـله های متشابه است . نماد های امروزی به تـدریج و در طول زمان به وجود آمد .((محمد کرجی)) ریاضیدان ایرانی اول سده یازدهم میلادی ، برای نشان دادن مجهول ، نمادی را انتخاب کرد . معـادله ها نزد ایرانی ها تـا جایی رسید که ((خیام)) معادله درجه سوم را به یاری برش های مخروطی می کند . باید توجه داشت کـه ایرانیان به پیروی از یونایان ، از هندسـه برای حل مسائل جبری کمک می گرفتند . خوارزمی مسائل خود را گـاهی با شـیوه جـبری و گاهی با کمک هندسه حل مـی کند . ولی خیام برای حل معادله های درجه سوم ، تنها از هندسه و برش های مخروطی استفاده می کند ، تا سر انجام جمشید کاشانی راه حل جبری برای معادله درجه سـوم می یابد که جواب را تا هر درجه دقت به دست می دهد . ریاضیدانان ایرانی ، به معادله های بالاتر از درجه سوم اعتقادی نداشتند ؛ زیرا فضا را سه بعدی و  را حجم مکعبی بـه ضلع  می دانستند و چون در فضا بیش از سه بعد نداریم ، برای معادلات از درجه های بالاتر از سه درجه معنایی قـائل نبودند . نمادهای جبری برای اولین بار در اروپای سده های پانزده و شانزدهم برای مجهول و سپس برای عمل ها پدید آمد . خوارزمی برای مجهول از واژه ((شیء)) استفاده می کرد ؛ همین واژه بعدها در اروپا به (( )) تبدیل شد و برای نشان دادن مجهول به کار رفت . نخستین کسی که از حرفهای الفبا لاتینی برای نامیدن مجهول استفاده کرد ، فرانسوا ویت بود . او برای مجهول ، حرف  را به کـار می برد . سپس بیـش از همه ریاضـیدان آلمانی ((لایـب نیتس)) (1646-1716) و ریاضیدان و فـیزیکدان انگلیسی ((نیوتون)) و ریاضیدان فرانسوی ((دکارت)) ، در شکل گیری نمادها نقش داشتند .

در سده شانزدهم ((رکورد)) ریاضیدان انگلیسی ، نماد برابری را به صورت دو پاره خط راست موازی ( ) انتخاب کرد . در این بـاره ، خود رکورد می نویسد : (( هیچ چیز مثل دو پاره خط راست موازی ، نمی تواند مفهوم برابری را برساند .))